Programma del corso: ordine cronologico.

1 marzo 2004 (2 ore): Definizione di vettore. Principali operazioni sui vettori: prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Il doppio prodotto vettoriale. Soluzione dell'equazione $\mbox{\boldmath$x$}\wedge\mbox{\boldmath$a$}=\mbox{\boldmath$b$}$. Definizione di vettore applicato. Momento di un vettore applicato rispetto ad un polo.

2 marzo 2004 (2 ore): Sistemi di vettori applicati: Risultante e momento risultante. Teorema del trasporto. Asse centrale. Equivalenza di sistemi di vettori applicati. Teorema di riduzione.

3 marzo 2004 (1 ora): (Esercitazioni: Complementi di teoria). Casi particolari in cui il trinomio invariante di un sistema di vettori applicati è nullo: sistemi piani e sistemi di vettori paralleli. (Esercizi) Calcolo di trinomio invariante di un sistema di vettori applicati e problemi parametrici relativi.

8 marzo 2004 (2 ore): Algebra tensoriale. Prodotto diadico, matrice associata ad un tensore. Tensori simmetrici ed antisimmetrici; vettore assiale associato ad un tensore antisimmetrico. Tensori ortogonali.

9 marzo 2004 (2 ore): (Esercitazioni: Complementi di teoria). Richiami sui tensori, diadi e loro rappresentazione matriciale. Formula di contrazione delle diadi ( $(\mbox{\boldmath$a$}\otimes \mbox{\boldmath$b$})(\mbox{\boldmath$c$}\otimes \mb... ...th$b$}\cdot \mbox{\boldmath$c$}) \mbox{\boldmath$a$}\otimes \mbox{\boldmath$d$}$). (Esercizi) Esempi di determinazione dell'asse centrale di un sistema di vettori applicati; casi particolari. Calcolo di prodotti fra tensori usando la scomposizione diadica.

10 marzo 2004 (1 ora): derivata assoluta e relativa di un vettore; Velocità angolare; formule di POISSON.

15 marzo 2004 (2 ore): (Esercitazioni: Complementi di teoria). Trasposta di una diade ( $(\mbox{\boldmath$a$}\otimes \mbox{\boldmath$b$})^T = \mbox{\boldmath$b$}\otimes \mbox{\boldmath$a$}$); composizione di un tensore con una diade ( $\mathrm S(\mbox{\boldmath$a$}\otimes \mbox{\boldmath$b$}) = (\mathrm S\mbox{\boldmath$a$}\otimes \mbox{\boldmath$b$})$). Tensori ortogonali; teorema di EULERO; formula di rappresentazione delle rotazioni attorno ad un asse. Velocità angolare come vettore associato al tensore antisimmetrico $\dot \mathrm Q \mathrm Q^T$; calcolo esplicito nel caso di ritazione attorno ad asse fisso; risultato generale. (Esercizi) Calcolo del prodotto fra tensori passando alla rappresentazione matriciale.

16 marzo 2004 (2 ore): Cinematica relativa: velocità ed accelerazione. Moti rigidi: definizione; formula fondamentale della cinematica rigida; atti di moto rigidi: traslazioni e rotazioni; assi di moto o del MOZZI; analogia formale con la teoria dei vettori applicati; invariante cinematico; asse di istantanea rotazione.

17 marzo 2004 (1 ora): (Esercitazioni) Esempi di esercizi di cinematica relativa (esempi di determinazione di velocità angolari e di velocità di un punto avendo assegnato il suo moto relativo e quello della terna relativa.

22 marzo 2004 (2 ore): Moti rigidi piani; centro di istantenea rotazione; teorema di CHASLES; base e rulletta. Sistemi particellari e continui: dalla massa alla densità. Centro di massa: definizione, proprietà distributiva. Cenno alle simmetrie materiali. Grandezze cinematiche: quantità di moto, momento della quantità di moto: introduzione del tensore di inerzia.

23 marzo 2004 (2 ore): (Complementi di teoria) Angoli di EULERO (precessione, nutazione, rotazione propria); matrice di rotazione ed espressione della velocità angolare di una terna mobile. (Esercizi) Determinazione del centro di istantenea rotazione nel caso di moti rigidi piani (applicazioni del teorema di CHASLES).

24 marzo 2004 (1 ora) Grandezze cinematiche: energia cinetica. Teorema di KÖNIG (formulazione generale e discussione di casi particolari).

29 marzo 2004 (2 ore): Proprietà del tensore di inerzia: simmetria e positività; basi e momenti principali di inerzia. Momenti di inerzia: loro significato; ellissoide di inerzia; raggio di girazione; Teorema e formula di HUYGENS-STEINER; momenti centrali di inerzia.

30 marzo 2004 (2 ore): (Complementi di teoria ed esercizi) Proprietà dei centri di massa; uso delle simmetrie materiali; teoremi di PAPPO-GULDINO e loro applicazione nella determinazione del centro di massa di un'asta e di una lamina semicircolari omogenee; principio della lacuna; esempi di determinazione del centro di massa di corpi piani. Tensore centrale d'inerzia per un'asta rettilinea, un disco e un rettangolo omogenei. Calcolo di tensori e momenti d'inerzia a partire da quelli noti in sistemi diversi. Teorema di composizione per i momenti di inerzia e esempi di applicazione.

31 marzo 2004 (1 ora): Proprietà di inerzia per sistemi piani; teorema degli assi perpendicolari; piani di simmetria materiale e direzioni principali di inerzia.

5 aprile 2004 (2 ore): Sistemi vincolati. Vincoli olonomi ed anolonomi; vincoli scleronomi e reonomi; vincolo di contatto e di puro rotolamento: esempio nel piano.

6 aprile 2004 (2 ore): (Esercitazioni) Esempi di calcolo di energia cinetica e di momento della quantità di moto di sistemi piani di corpi: bipendolo piano; manovella-rotella con vincolo di puro rotolamento all'interno di un profilo circolare.

7 aprile 2004 (1 ora): (Esercitazioni) Esempi di calcolo di energia cinetica e di momento della quantità di moto di sistemi piani di corpi: asta incernierata con disco vincolato tramite puro rotolamento.

14 aprile 2004 (1 ora): I postulati della dinamica; osservatori inerziali e principio di di inerzia; definizione di forza.

19 aprile 2004 (2 ore): Equazioni cardinali della dinamica; leggi di conservazione. Teorema dell'energia cinetica. Equazioni cardinali della statica come condizioni necessarie di equilibrio.

20 aprile 2004 (2 ore): (Esercitazioni) Esempi di calcolo di energia cinetica e di momento della quantità di moto di sistemi di corpi piani e nello spazio. Tensore centrale d'inerzia per sfera e cilindro omogenei.

5 maggio 2004 (1 ora) Forze attive e reattive; forze conservative; energia potenziale. Leggi di conservazione: conservazione dell'energia meccanica in sistemi aventi potenza delle forze reattive nulla. Calcolo dell'energia potenziale per la forza peso e per forze costanti.

10 maggio 2004 (2 ore) Calcolo dell'energia potenziale per la forza elastica di una molla e un sistema di molle; forze centrifughe: energia potenziale nel caso di velocità angolare costante. Potenza in un moto rigido; potenza delle forze interne in un moto rigido. Vincoli perfetti; atti di moto reali, possibili e virtuali. Caratterizzazione dei vincoli perfetti; determinazione delle reazioni vincolari tramite l'espressione della potenza virtuale. Reazioni vincolari per vincoli nello spazio e nel piano (principali esempi: cerniera sferica, cerniera cilindrica, carrello, pattino, incastro).

11 maggio 2004 (2 ore): Sufficienza delle equazioni cardinali della statica per l'equilibrio di un corpo rigido. Corpi rigidi con un punto fisso: le equazioni di EULERO. I moti alla POINSOT: proprietà e quantità conservate. Caratterizzazione geometrica dei moti alla POINSOT. Rotazioni permanenti: teorema di SEGNER.

12 maggio 2004 (1 ora): Definizione di giroscopio; moti di precessione. Caratterizzazione delle precessioni. Moti alla POINSOT di corpi con struttura giroscopica.

17 maggio 2004 (2 ore): Deduzione delle equazioni di LAGRANGE. Caso particolare: forze attive conservative; funzione lagrangiana. Esempio.

18 maggio 2003 (2 ore): (Esercitazioni) Risoluzione di problemi diretti di dinamica del corpo rigido e dei sistemi di corpi rigidi (moti piani); puro rotolamento garantito dall'attrito statico. Determinazione del moto, delle reazioni vincolari, dell'atto di moto in funzione della posizione; uso degli integrali primi del moto. Vincoli unilateri e problemi di distacco. (esempi principali: disco vincolato con puro rotolamento a guida rettilinea e soggetto a forza elastica; problemi di distacco: asta soggetta a forza centrifuga e molla appoggiata a piolo liscio).

19 maggio 2003 (1 ora): (Esercitazioni) Risoluzione di problemi di dinamica del corpo rigido e dei sistemi di corpi rigidi. Uso degli integrali primi nei problemi a più gradi di libertà. (esempio principale: sistema piano orizzontale costituito da un anello incernierato in un punto sul quale un è libero di muoversi un punto materiale).

24 maggio 2003 (2 ore): (Esercitazioni) Risoluzione di problemi di dinamica del corpo rigido e dei sistemi di corpi rigidi. Uso delle equazioni di LAGRANGE; relazione empirica di COULOMB per l'attrito statico; energia potenziale di una coppia costante. (esercizi tratti da seconda prova in itinere 27 giugno 2003 e appello 22 luglio 2003).

25 maggio 2004 (2 ore). Commenti sulle equazioni di LAGRANGE: caratterizzazione dell'equilibrio nel formalismo lagrangiano. Forze viscose nel formalismo lagrangiano: la funzione di RAYLEIGH. Coordinate cicliche e costanti del moto. Trottola di LAGRANGE: impostazione del problema in termini degli angoli di EULERO. Studio qualitativo del moto.

26 maggio 2004 (1 ora). Trottola di LAGRANGE: descrizione del comportamento dell'asse giroscopico.

31 maggio 2004 (2 ore). Trottola di LAGRANGE: ruolo della rotazione attorno all'asse giroscopico nei confronti della gravità. Trottola in rotazione lungo la verticale. Stabilità dell'equilibrio secondo LJAPUNOV: definizione. Il teorema di DIRICHLET-LAGRANGE.

1 giugno 2004 (2 ore): (Esercitazioni) Risoluzione di problemi di dinamica del corpo rigido e dei sistemi di corpi rigidi. Uso delle equazioni di LAGRANGE e dell'integrale primo del moto dell'energia (per sistemi a un grado di libertà) per determinare l'accelerazione e la velocità in funzione della posizione. Proiezione della prima equazione cardinale in un riferimento polare nel piano. Primo criterio di LJAPUNOV per l'instabilità dei sistemi e sua applicazione.

7 giugno 2004 (2 ore). Modi normali di oscillazione: approssimazione quadratica delle equazioni di LAGRANGE; lemma algebrico e sua applicazione. Frequenza delle piccole oscillazioni.

8 giugno 2004 (2 ore): (Esercitazioni) Risoluzione di problemi di dinamica del corpo rigido e dei sistemi di corpi rigidi. Sistemi rotanti con velocità angolare costante. Stabilità dell'equilibrio relativo; calcolo della potenza necessaria per mantenere il sistema in rotazione. Calcolo delle frequenze delle piccole oscillazioni per un sistema a più gradi di libertà.

9 giugno 2004 (1 ora). Modi normali di oscillazione: modi oscillanti, lineari, iperbolici. Esempio

14 giugno 2004 (2 ore). Esempi di modi normali di oscillazione.

15 giugno 2004 (2 ore). (Esercitazione) Esempi di modi normali di oscillazione in sistemi a uno e due gradi di libertà.

16 giugno 2004 (1 ora). Esempio di modi normali di oscillazione.